Площадь четырехугольника

Принцип расчета площади прямоугольника

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, мы посчитаем количество единиц областей, которые содержит прямоугольник:

В прямоугольнике выше 12 квадратов по 1 см². Его площадь составляет 12 см² (4 х 3).

Примечание. В этом расчете длина L и ширина l прямоугольника должны быть выражены в одной и той же единице длины. Результат будет выражен в той же единице измерения, возведенной в квадрат. Например, если длина прямоугольника выражена в метрах, ширина также должна быть выражена в метрах, а результат формулы для расчета площади прямоугольника даст результат в квадратных метрах (м²).

Площадь прямоугольника эквивалентна его территории. Территория — это термин, используемый для обозначения меры площади земли (мы используем единицу измерения гектар, а не м²). Гектар — это метрическая мера земельной площади, равная 10 000 м 2 .

Прямоугольник и параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

$АВ││CD;BC││AD.$

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

$АВ=CD;BC=AD$

$∠А= ∠С; ∠В= ∠D.$

2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

$∆ABD=∆BCD$

3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

$BO=OD; AO=OC.$

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

$BD^2+AC^2=2(AB^2+AD^2)$

5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.

$∆АВК$ — равнобедренный

6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в $90°$.

Площадь параллелограмма:

1. Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.

$S=a·b·sin⁡α$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.

2. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

$S=h_a·a$, где $a$ — сторона параллелограмма, $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$.

Периметр параллелограмма: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма.

Пример:

Периметр параллелограмма равен $14$. Одна сторона параллелограмма на $1$ больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Решение:

Пусть меньшая сторона $ВС-х$, тогда $АВ-(х+1)$, так как она на $1$ больше.

Запишем формулу периметра параллелограмма: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма.

Подставим в формулу известные данные и значения сторон, записанные через «х».

$2(х+х+1)=14$

Получили линейное уравнение, разделим обе части на $2$.

$х+х+1=7$

$2х=6$

$х=3$.

За «х» брали меньшую сторону параллелограмма, следовательно, это и есть ответ.

Ответ: $3$

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

1. Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма).

2. Диагонали прямоугольника равны.

$BD= AC$.

Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

Периметр прямоугольника: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

1. Все свойства прямоугольника.
2. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. $BD⊥AC$.
3. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.

Площадь квадрата:

1. $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
2. $S={d^2}/{2}$, где $d$ — диагональ квадрата.

Периметр квадрата: $P=4a$

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

1. В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
2. Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
3. Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов. Высота $СН$ равна $2√{54}, ВС= 15$. Найдите $sin A$.

Решение:

Угол $В$ и $А$ это два острых угла треугольника $АВС$.

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла. Следовательно, $sin A= cos B$

Рассмотрим треугольник $СНВ$, который является прямоугольным, так как $СН$ высота.

В треугольнике $CНВ: cos В = {ВН}/{СВ}$. Найдем $ВН$ по теореме Пифагора

$ВН^2+НС^2=ВС^2$

$ВН^2+(2√{54})^2=15^2$

$ВН^2+216=225$

$ВН^2=225-216$

$ВН^2=9$

$ВН=3$

Подставляем найденную длину в формулу косинуса

$cos В = {3}/{15}=1/5=0.2$

$sin A= cos B=0.2$

Ответ: $0.2$

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Периметр круга (длина окружности)

Каждый круг имеет центр. Расстояние от центра круга до любой точки, расположенной на окружности, имеет название радиус круга. Часто ученики путают понятия «круг» и «окружность» и пытаются определить площадь окружности. Это серьезная ошибка. Следует разделить в голове понятия «круг» и «окружность». У окружности нет и не может быть площади, у нее есть только длина.

Чтобы найти периметр круга, следует вычислить длину его окружности. Существует формула для нахождения длины окружности:

L = 2πr

L= 2πd

L – длина окружности

π – это число «пи», математическая константа. Она равна отношению длины окружности к длине ее диаметра. Древнее название числа «пи» – лудольфово число. Это число иррационально, его десятичное представление после точки никогда не заканчивается.

π = 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502

Для удобства вычислений обычно используют значение 3.14

R – это радиус окружности

D – Диаметр окружности

Итак, чтобы определить периметр круга, надо найти произведение радиуса и 2π. Если в задаче указан диаметр, то

Например, перед нами круг с радиусом 3 см. Найдем его периметр.

L= 2*3,14*3

L=6π

L=6*3.14

L = 18.84 см

P_к= 18,84 см

Ответ: 18.84 см

Периметр и площадь квадрата

Это сумма его четырех сторон. Как мы знаем, все стороны квадрата имеют равный размер. Поэтому мы можем узнать периметр квадрата, умножив длину его стороны на четыре:

P= a*4

P= a+a+a+a

Например, перед нами квадрат со стороной 10 см.

P= 10*4

P=40

Ответ: 40 см

P= 10+10+10+10

P=40

Ответ: 40 см

Чтобы разобраться, что такое периметр и площадь, следует уяснить, что периметр вычисляет длину контура фигуры, а площадь – размер всей ее поверхности.

Чтобы узнать площадь квадрата, необходимо воспользоваться простой формулой:

S= a*a

S=a2

S – это площадь, а – сторона квадрата.

Например, в задаче указано, что длина стороны квадрата составляет 10см.

S=10*10

S= 100см2

Ответ: 10см2

Правильный расчет диагонали фундамента

Изучив основной план, нужно приступить к разметке одной из сторон. Это может быть боковая часть, передняя или задняя, ​​в данном случае это не главное условие, потому что учитывается только ориентация направления.

Длина фундаментной стены не учитывается, можно от точки соседних углов отвести на 1,0 метр больше. В этих местах сажают жерди и натягивают шпагат. Приводится запас по длине, чтобы при рытье траншеи колышек не вырывался и оставался для обозначения направления борта.

Колышки заменяют на доску длиной 1-2 метра с прибитыми к концу колышками. Подключенный к ним кабель при необходимости можно быстро переставить из стороны в сторону. Такое приспособление для работы называется отливным, оно позволяет рисовать фактуру с точностью до нескольких миллиметров.

Порядок работы:

• Перед вычислением диагонали прямоугольного треугольника по сторонам ставят 3 и 4 равные части, их размечают на проводе (например, 3 и 4 метра).
• Проделайте то же самое с перпендикулярной стороной и определите направление.
• Зависимость расстояния между отмеченными точками такова, что гипотенуза должна быть равна пяти частям (5 метров) и не отличаться ни на один сантиметр, иначе пойдет скос.
• После натяжения шпагата находят ориентир по длине и определяют угол фундамента, в этой точке зацепляют за шпагат прищепку или в землю всаживают кол, затем появляются 2 угла.

Описанная и вписанная окружность в прямоугольник

Диаметр или радиус описанной вокруг прямоугольника окружности Вы видимо вычисляли. Однако вряд ли задумывались о вписанной окружности и геометрическом место ее центров.

Диаметр описанной окружности равен диагонали (d), соответственно радиус описанной окружности – половине диагонали (R=d/2). Вписанных окружностей в прямоугольник можно построить множество. Радиус вписанной окружности равен половине длины меньшей стороны прямоугольника (r=b/2). Если соединить центры всех возможных вписанных окружностей то получим отрезок MN длина которого равна разности сторон (MN=a-b).

Приведенная информация о вписанной и описанной окружности редко пригодится Вам при решении задач но Вы должны знать как в таких случаях вычислять указанные величины.

Площадь сложных фигур

Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Задача: найти площадь огородного участка.

Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя правило выше.

Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

S_ABCE = AB · BC S_EFKL = 10 · 3 = 30 м 2 S_CDEF = FC · CD S_CDEF = 7 · 5 = 35 м 2

Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников. S = S_ABCE + S_EFKLS = 30 + 35 = 65 м 2

Ответ: S = 65 м 2 — площадь огородного участка.

Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.

Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.

АС — диагональ прямоугольника ABCD . Найдём площадь треугольников ABC и ACD

Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

S_ABCD = AB · BC S_ABCD = 5 · 4 = 20 см 2

S _ABC = S_ABCD : 2

S _ABC = 20 : 2 = 10 см 2

S _ABC = S _ACD = 10 см 2

Чему равна площадь прямоугольника? 1. Необходимо знать длину и ширину прямоугольника. 2. Внесите значения сторон в графы ниже. 3. Нажмите кнопку рассчитать площадь прямоугольника!

Как вычислить периметр

Периметр обозначается латинской буквой P. Его можно измерить в сантиметрах, миллиметрах, метрах или дециметрах. Чтобы узнать периметр, следует измерить длину всех сторон многоугольника. Полученные значения нужно сложить. Итоговая сумма и станет ответом на вопрос: «Чему равен периметр многоугольника».

Периметр – это длина линий, которые ограничивают замкнутую фигуру (квадрат, прямоугольник, треугольник и др.).

Например, перед вами многоугольник со сторонами 10, 12, 13 и 11 см. Складываем вышеназванные числа (10+12+13+11) и получаем сумму 46. Это и есть периметр многоугольника.

Для удобства вычисления периметра в геометрии существует ряд формул. Каждая формула соответствует определенной фигуре.

Основные формулы для вычислений

Для изучения основных соотношений следует ввести некоторые обозначения, позволяющие избежать «тяжелых» записей, при которых обозначаются стороны и диагонали. Упрощенная форма имеет такой вид:

1. Прямоугольник: MNOP.
2. Стороны: MN = m и NО = n.
3. Диагональ (вводится одно обозначение, поскольку они равны): NP = t.
4. Периметр: Р.
5. Площадь: S.
6. Углы оснований: ∠М = ∠N = ∠O = ∠P = 90.
7. Радиус окружности: R.
8. Диаметр: D.
9. Углы при пересечении диагоналей: острый — ∠МТN = Q, тупой — ∠NTO = U.

На последний пункт следует обратить внимание, поскольку иногда молодые математики их путают, подставляя в формулу площади прямоугольника через диагонали.

Площадь и периметр фигуры

Периметр — сумма всех четырех сторон. Для его нахождения рекомендуется использовать соотношения:

1. S и одна из сторон: P = / m или P = / n.

2. t и m (n): P = 2m + 2(t 2 — a 2 )^(0.5)) = 2n + 2(t 2 — n 2 )^(0.5)).

3. m (n) и R: P = 2m + 2(4 * R 2 — m 2 )^(0.5)) = 2 * (n + (4 * R 2 — n 2 )^(0.5)).

4. m (n) и D: P = 2m + 2(D 2 — m 2 )^(0.5)) = 2n + 2(D 2 — n 2 )^(0.5)).

Для вычисления размерности прямоугольника используется понятие площади для двухмерной фигуры. Она измеряется в линейных единицах, возведенных в квадрат, т. е. мм 2 , см 2 , м 2 и т. д. Чтобы найти S, нужно воспользоваться соотношениями:

1. P и m (n): S =0.5 * = 0.5 * .

2. Две известные противоположные стороны: S = mn.

3. Площадь прямоугольника по диагонали t и m (n): S = m * ^(0.5) = n * ^(0.5).

4. Синус ∠МТN и t (формула площади через диагональ): S = 0.5 * .

5. R и m (n): S = m * ^(0.5) = n * ^(0.5).

6. Cторона и D: S = m * ^(0.5) = n * ^(0.5).

Найти площадь прямоугольника, зная диагональ и 2 стороны, поможет формула Нонаналя. Она имеет следующий вид: S = 2 * ^(1/2), где р = (m + n + t) / 2. Однако для решения задач будут также полезны и другие соотношения.

Другие полезные соотношения

При решении заданий иногда возникает необходимость найти не только P и S, но и другие параметры фигуры. Для этих целей рекомендуется использовать следующие соотношения:

1. m = ^(0.5) и n = ^(0.5).

2. m = S / n и n = S / m.
3. m = 0.5 * (P — 2 * n) и n = 0.5 * (P — 2 * m).
4. t = ^(0.5).
5. t = (S 2 + m 4 )^(0.5) / n= (S 2 + n 4 )^(0.5) / m.
6. sin(U) и m: R = m / 2sin (U).
7. cos(U) и n: R = n / 2cos (U).

Чтобы найти sin(U), нужно воспользоваться формулой: sin (U) = m / t, а cos (U) = n / t. Синус острого угла находится таким образом: sin (Q) = 2S / t 2 .

Сложности при неправильной разметке

Нарушение геометрии фундамента снижает прочность стен

Неправильный перенос размеров на землю и отказ от сравнения диагоналей приведет к появлению на поверхности земли ромба или трапеции. При возведении самого фундамента это может не стать заметным, но первая кладка плит над цоколем выявит несоответствия и приведет к пустой трате времени на пересчет сборных элементов или переделку основания.

Если плита размещена на глубине меньше необходимой, после загрузки оборудованием или людьми она может сломаться в несущей части стены и упасть. Это раздражение затронет горизонтальные элементы пола на всех этажах небоскреба и будет повторяться вплоть до крыши.

устройство кровли выполнить сложно, если размеры между стропилами не совпадают, фермы нужно устанавливать в большем размере и в других местах уменьшать размер. Сложность работы возрастает, ведь исполнитель играет необычную роль дизайнера и дизайнера.

Монтаж кровли усложнится, ведь доступны листы гофрокартона или шифера с прямым углом. Сборные угловые водосточные элементы также рассчитаны на установку под углом 90 °, карниз отойдёт от края крыши и вода будет падать на вертикальные ограждения, стены будут увлажнены.

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• для гипотенузы (с):
  • длины катетов a и b
  • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
  • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
• для катета:
  • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
  • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
  • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
  • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
  • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Катет a = Катет b = Гипотенуза c =

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c² = a² + b²

следовательно: c = √a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Катет (a или b) = Прилежащий угол (β или α) = Гипотенуза c =

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

c = a/_cos(β) = b/_cos(α)

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Катет (a или b) = Противолежащий угол (α или β) = Гипотенуза c =

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

c = a/_sin(α) = b/_sin(β)

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Гипотенуза c = Катет _{(известный)} = Катет _{(искомый)} =

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

a = √c² — b²

b = √c² — a²

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √5² — 4² = √25 — 16 = √9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Гипотенуза c = Угол (прилежащий катету) = °Катет =

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

a = c ⋅ cos(β)

b = c ⋅ cos(α)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Гипотенуза c = Угол (противолежащий катету) = °Катет =

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

a = c ⋅ sin(α)

b = c ⋅ sin(β)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Катет (известный) = Угол (прилежащий известному катету) = °Катет (искомый) =

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

a = b ⋅ tg(α)

b = a ⋅ tg(β)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Катет (известный) = Угол (противолежащий известному катету) = °Катет (искомый) =

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

a = b / tg(β)

b = a / tg(α)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

a = 3 / tg(35) ≈ 3 / 0.7 ≈ 4.28 см

Основные понятия

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны попарно равны и параллельны. В нашей жизни многие фигуры имеют форму прямоугольника. Например, поверхность стола, тетрадь и другие.

Рассмотрим пример:по границам земельного участка необходимо поставить забор. Для того чтобы узнать длину каждой из сторон необходимо их измерить.

Рис. 1. Земельный участок формой прямоугольника.

Земельный участок имеет стороны длиной 2 м, 4 м, 2 м, 4 м. Поэтому чтобы узнать общую длину забора необходимо сложить длины всех его сторон:

2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 м.

Именно эта величина в общем случае и называется периметром. Таким образом, для нахождения периметра необходимо сложить все стороны фигуры. Для обозначения периметра используют латинскую букву P.

Для вычисления периметра произвольной фигуры не нужно разделять её на прямоугольники, нужно измерить линейкой (рулеткой) лишь все стороны данной фигуры и найти их сумму.

Периметр прямоугольника измеряется в различных единицах длины: мм, см, м, км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одинаковые единицы измерения.

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали, если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a. Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Задачи на прямоугольник

Стороны прямоугольника

Задача 1. Длина диагонали и стороны прямоугольника составляют 10 и 8 см. Найдите другую сторону.

Решение. По теореме Пифагора вычисляем

Ответ. Сторона равна 6 см.

——————————-

Задача 2. Длина диагонали прямоугольника равна 5 см. Одна сторона меньше другой на сантиметр. Найдите стороны прямоугольника.

Решение. Обозначим первую сторону через х, тогда по условию вторая – х -1. Составляем уравнение

Возводим к квадрату и решаем квадратное уравнение

Второе значение не имеет смысла. Для вычисления меньшей стороны выполняем вычитание

Ответ. Стороны прямоугольника равны 3 и 4 см.

——————————-

Задачи на площадь и периметр прямоугольника

Задача 3. Большая сторона прямоугольника 8 см. Меньшая составляет четверть большой. Какая площадь и периметр прямоугольника?

Решение. Четверть большей означает одна четвертая часть, то есть

b= 8/4=2 (см).

Площадь и периметр находим по формулам

P=2(2+8)=20 (см); S=2*8=16 (см^2).

Ответ. Периметр 20 см, площадь 16 сантиметров квадратных.

——————————-

Задача 4. Участок земли имеет площадь 64 квадратных метров. Какой периметр участка если диагонали пересекаются под прямым углом?

Решение.

Поскольку угол между диагоналями 90 градусов, то это квадрат. Площадь квадрата равна квадрату стороны Отсюда находим сторону Периметр находим по формуле

Ответ. Периметр равен 32 метра.

Не забывайте что периметр измеряется в единицах длины, а площадь — в единицах квадратных.

Теперь Вы знаете как найти периметр и площадь прямоугольника. Пользуйтесь формулами на практике и совершенствуйте навыки вычислений указанных величин.

Посмотреть материалы:

• Прямоугольный треугольник. Задачи
• Площадь треугольника. Формулы
• Квадрат. Формулы
• Периметр и площадь параллелограмма
• Формулы площади трапеции
• Ромб. Площадь, периметр

Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности

Ещё один способ, который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.

Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R. Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.

И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r.

Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Шаги

Метод 1 из 4: По площади и длине

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. Если вы знаете длину и площадь прямоугольника, вы можете переписать формулу так, чтобы вычислять ширину.

   • Для этого разделите обе части формулы на длину прямоугольника.
   • В следующей формуле W — ширина, L — длина, A — площадь.
   • W * L = А
     • (W * L) / L = A / L
     • W = A / L

2. 2
   Разделите площадь на длину и найдете ширину (W) прямоугольника.

   • Подставьте известные вам значения в формулу и найдите ширину.
   • Пример: найдите ширину прямоугольника с площадью 24 см2 и длиной 8 см.
     • А = 24; L = 8
     • W = A / L = 24/8 = 3

3. 3
   Запишите ответ.

   • В ответе не забудьте указать соответствующую единицу измерения.
   • Пример: ширина прямоугольника равна 3 см.

Метод 2 из 4: По периметру и длине

1. 1
   Периметр прямоугольника равен сумме всех четырех сторон, то есть двух значений ширины и двух — длины. Если вы знаете длину и периметр прямоугольника, вы можете переписать формулу так, чтобы вычислить ширину.

   • Для обособления ширины на одной стороне формулы перенесите удвоенное значение длины на другую сторону. Затем разделите обе стороны формулы на 2.
   • В следующей формуле W — ширина, L — длина, Р — периметр.
   • 2W + 2L = P
     • 2W + 2L — 2L = P — 2L
     • 2W = P — 2L
     • (2W) / 2 = (P — 2L) / 2
     • W = (Р — 2L) / 2

2. 2
   Подставьте значение длины в формулу и умножьте его на 2.

   • Пример: найдите ширину прямоугольника с длиной 8 см и периметром 22 см.
     • W = (Р — 2L) / 2 = / 2
     • W = / 2

3. 3
   Вычтите полученное значение (то есть удвоенную длину) из периметра.

   Пример: W = / 2 = / 2

4. 4
   Разделите полученное значение на 2 и получите ширину.

   Пример: W = 6/2 = 3

5. 5
   Запишите ответ.

   Пример: ширина прямоугольника равна 3 см.

   В ответе не забудьте указать соответствующую единицу измерения.

Метод 3 из 4: По диагонали и длине

1. 1
   Каждый прямоугольник имеет две равные диагонали, которые можно найти, зная длину и ширину прямоугольника.

   • Если вы знаете диагональ (D) и длину (L), вы можете найти ширину.
   • Из-за сложности формулы лучше сначала подставить в нее известные значения, а затем обособить неизвестную ширину (W).
   • Формула для вычисления диагонали: D = √(W2 + L2)

2. 2
   После подстановки в формулу известных значений необходимо избавиться от корня, возведя обе стороны формулы в квадрат.

   • D = √(W2 + L2)
   • Пример: найдите ширину прямоугольника с диагональю 5 см и длиной 4 см.
     • D2 = W2 + L2
     • (5)2 = W2 + (4)2

3. 3
   Сначала возведите в квадрат длину и диагональ.

   • Пример: (5)2 = W2 + (4)2

4. 4
   Теперь перенесите длину, возведенную в квадрат, на другую сторону формулы.

   • Пример: 25 = W2 + 16
     • 25 — 16 = W2 + 16 – 16
     • 9 = W2

5. 5
   Из полученного значения извлеките квадратный корень, чтобы найти ширину.

   • Пример: √9 = √W2

6. 6
   Запишите ответ.

   Пример: ширина прямоугольника равна 3 см.

   В ответе не забудьте указать соответствующую единицу измерения.

Метод 4 из 4: По площади и разнице между длиной и шириной

1. 1
   Если вы знаете площадь прямоугольника и разницу между его длина и шириной, вы можете найти ширину.

   • В этом случае значение длины включает переменную (для обозначения ширины).
   • Формула для вычисления площади: L * W = А.
   • Пример: Найдите ширину прямоугольника, у которого площадь равна 24 см^2, а длина больше ширины на 5 см.
     • A = 24; L = W + 5
     • L * W = A
     • (W + 5) * W = 24

2. 2
   Раскройте скобки и перенесите все члены уравнения влево. Вы получите квадратное уравнение.

   • Пример: (W + 5) * W = 24
     • W2 + 5W = 24
     • W2 + 5W — 24 = 24 — 24
     • W2 + 5W — 24 = 0

3. 3
   Для решения квадратного уравнения (и нахождения W) необходимо разложить его на множители.

   • Пример: W2 + 5W — 24 = 0

4. 4
   Найдите ширину. Для этого приравняйте каждую скобку к 0 и обособьте W на одной стороне равенства.

   • Пример: (W + 8) * (W — 3) = 0

5. 5
   Прямоугольник не может иметь отрицательную ширину. Поэтому отрицательное значение ширины можно исключить (не учитывать).

   • Пример: W = -8; W = 3

6. 6
   Запишите ответ.

   Пример: ширина прямоугольника равна 3 см.

   В ответе не забудьте указать соответствующую единицу измерения.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

1. d = rad2*a;
2. d = rad2*radS;
3. d = rad2*P/4;
4. d = 2*R;
5. d = rad2*2*r.

Хочется ещё отметить, что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Продолжая нашу цепочку и далее, мы научимся строить отрезки равные любому иррациональному числу.

Похожие записи:

Заболевания желчевыводящих путей Как отстирать ржавчину с белой одежды в домашних условиях? На сколько замачивать огурцы перед засолкой и маринованием на зиму Ремонт или замена заливного клапана подачи воды стиральной машины Лук репчатый Как сохранить тесто в холодильнике