Перевод десятичной дроби в обыкновенную и наоборот: правило, примеры

Содержание

Что делать с целой частью
Что такое дробь: понятие
Что такое обыкновенная дробь?
Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби
- Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби
Решение примеров
Виды дробей
Использование онлайн-конвертера
Способ 1. Превращаем знаменатель в 10, 100 или 1000
Более быстрый способ
Перевод десятичной дроби в смешанное число
Как считать разность десятичных дробей столбиком
Перевод смешанных чисел в десятичные дроби
Как превратить десятичную дробь в обычную?
Основной алгоритм
Что такое дробь?
Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Что делать с целой частью

На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.

Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:

Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:

Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:

В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)

В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.

Что такое дробь: понятие

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:

обыкновенный вид — ½ или a/b,
десятичный вид — 0,5.

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел. Например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как «пять целых одна четвертая», а записывается — 5 1\4.

Что такое обыкновенная дробь?

Обыкновенной дробью зовется незавершенная операция деления или, проще говоря, какая-то часть целого. Долгое время, иначе как часть чего-то цельного дробь не воспринимали. Однако в развитии науки настал момент, когда потребовались точные вычисления. В это время и поняли, что дробью можно заменять деление, которое точно выполнить не получится.

После того, как деление заменяли дробью, последнюю использовали просто как число в дальнейших вычислениях, не теряя в точности. В зависимости от ситуации можно использовать любое определение дробей, оба являются верными.

В обыкновенной дроби числитель обозначает делимое, знаменатель делитель, а знак деления обозначает дробная черта. Ничего сложного в том, чтобы преобразовать дробь обратно в деление, нет. Приведем пример:

$>=5:6$ – чтобы проверить это утверждение можно взять калькулятор и использовать это число дважды в одной и той же операции. Так:

5:6*6=5 – в одном и том же примере на первой позиции мы сначала использовали дробь, а потом операцию деления. Результат не изменился и он не измениться в любых других подобных примерах.

Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби

В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь.

Рассмотрим применение данного правила на примерах.

Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Представим число 3,025 в виде обыкновенной дроби.

В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025.
В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля — именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 30251000.
Полученную дробь 30251000 можно сократить на 25, в результате чего мы получим: 30251000=12140.

Пример 9. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Переведем дробь ,0017 из десятичных в обыкновенные.

В числителе запишем дробь ,0017, отбросив запятую и нули слева. Получится 17.
В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 1710000. Данная дробь несократима.

Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?

Сформулируем еще одно правило.

Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.

Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
В числителе записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.

Обратимся к примеру

Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число

Представим дробь 155,06005 в виде смешанного числа.

Записываем число 155, как целую часть.
В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль.
В знаменателе записываем единицу и пять нулей

Поучаем смешанное число: 1556005100000

Дробную часть можно сократить на 5. Сокращаем, и получаем финальный результат:

155,06005=155120120000

Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби

Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.

Самый простой случай — период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим периодическую дробь 3,75().

Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3,75.

Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем:

3,75()=3,75=375100=154.

Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:

,(74)=,74+,0074+,000074+,00000074+..

Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что <q<1, то сумма равна b1-q.

Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.

Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Пусть у нас есть периодическая дробь ,(8) и нам нужно перевести ее в обыкновенную.

Запишем:

,(8)=,8+,08+,008+..

Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом ,8 и знаменателем ,1.

Применим формулу:

,(8)=,8+,08+,008+..=,81-,1=,8,9=89

Это и есть искомая обыкновенная дробь.

Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.

Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим дробь ,43(18).

Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы:

,43(18)=,43+(,0018+,000018+,00000018..)

Рассмотрим слагаемые в скобках. Эту геометрическую прогрессию можно представить в следующем виде:

,0018+,000018+,00000018..=,00181-,01=,0018,99=189900.

Полученное прибавляем к конечной дроби ,43=43100 и получаем результат:

,43(18)=43100+189900

После сложения данных дробей и сокращения получим окончательный ответ:

,43(18)=1944

В завершение данной статьи скажем, что непериодические бесконечный десятичные дроби нельзя перевести в вид обыкновенных дробей.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Решение примеров

Порой теоретическая информация довольно трудно воспринимается без применения её на практике

Поэтому крайне важно не только посмотреть, как делает преобразование учитель, но и самостоятельно выполнить перевод. Обычно хватает трех-четырех примеров для каждого типа преобразований, чтобы закрепить материал и освоить практическое применение

Существуют определённые сборники заданий, предназначенные для самостоятельного решения учащимися. Вот некоторые наиболее интересные примеры из них:

Преобразовать: 1/1000, 34/10, 78954/10, 186/100, 959/10000. Алгоритм действия определяется правилом отсчитывания запятой. В задании три нуля, но в числителе только один знак. Поэтому на недостающих местах следует поставить нули. Отсюда следует что 1/1000 = 0,001. По аналогии нужно решать и следующие примеры. В итоге должно получиться: 34/10 = 3,4, 78954/10 = 7895,4, 186/100 = 1,86, 959/10000 = 0,0959.
Записать выражения в обыкновенном виде: 0,59, 34,78, 0,00078, 767,009. В соответствии с правилом в числителе записывают исходное число, а в знаменатель ставят единицу: 0,59 = 0,59/1. Для избавления от запятой делимое и делитель умножают на сто, так как по условию после запятой стоит два знака: (0,59 * 100) / (1 * 100) = 59/100. Аналогично решают и оставшиеся примеры: 34,78 = 34,78/1 = 34,78 * 100/ 100 = 3478/100, 0,00078 = 78/100000 = 39/50000, 767,009 = 767 + 0,009= 767 9/1000.
Перевести выражения в десятичный вид: 5/2, ¼, 34/81, 456/1245, 1245/456. Преобразование таких примеров можно выполнить путём деления числителя на знаменатель для нахождения частного. В первом случае пять нужно разделить на два. Используя деление в столбик, можно опередить, что целым будет число два (2 * 2 = 4). Так как в остатке получается единица, то в частном ставят запятую, а к остатку дописывают ноль. То есть, 5/2 = 2,5. Таким же образом переводят и другие примеры: ¼ = 0,25, 34/81 = 0,420, 456/1245 = 0,366, 1245/456 = 2,73.

Эти задания затрагивают преобразование как в одну, так и в другую сторону. После первичного перевода не стоит забывать об упрощении полученного результата. Его нужно делать всегда, чтобы в дальнейшем при решении сложных задач последующие действия становились проще.

Виды дробей

Дробь — это число, в состав которого входит одна доля или несколько её частей, поделенных на равные части. По сути, это отношение двух значений. Обыкновенное дробное выражение записывают с помощью натуральных чисел, разделённых горизонтальной чертой. Называется она винкулумом. В литературе можно встретить и другой тип записи с наклонной чертой (солидус).

Верхнее число, или стоящее слева от черты, называют числителем или делимым, а нижнее — знаменателем (делителем). Что такое дробь, удобнее всего объяснить на примере. Пусть на столе стоит тарелка, на которой лежит пирог. Он один и целый. Можно взять нож и разделить его на шесть равных частей.

По сути, количество пирога не изменится, поэтому, с математической точки зрения, на тарелке будет всё так же находиться целый пирог. Если с неё взять два куска, то целостность нарушится. Записывают это действие с помощью дроби: 2/6. То есть внизу указывают число, обозначающее, на сколько поделили пирог, а сверху — сколько кусков забрали.

Дробь — это число, обозначающее часть целого предмета. При этом дробное отношение всегда будет меньше единицы. Существующие отношения принято разделять на следующие виды:

Правильные — отношения, в которых числитель меньше знаменателя.
Неправильные — дроби, где делимое по величине превышает делитель.
Смешанные — состоящие из суммы натурального и дробного числа.
Десятичные — в знаменателе которых стоит натуральное число с размерностью кратной десяти.
Составные — состоящие из нескольких черт дроби.

С дробными отношениями можно выполнять любые математические действия. Их складывают, вычитают, умножают, возводят в степень. Замечательным свойством дробей есть возможность их преобразования из одного вида в другой. Например, можно перевести обычную дробь в десятичную, неправильную — в смешанную. При этом операции возможны как в одну, так и другую сторону.

Проводимые операции, кроме получения периодической дроби, можно выполнять и в обратную сторону. Остаток при делении должен всегда быть меньше делителя. Поэтому, если при действии получается ноль, деление прекращается, а если остаток — бесконечная периодическое отношение.

Чаще всего для того, чтобы преобразовать простую дробь в десятичную, необходимо выполнить три шага:

Сократить выражение, требующее преобразования.
Разделить удобным способом числитель на знаменатель. В зависимости от величины значений, стоящих в числителе и знаменателе, это можно сделать столбиком или в уме. Если при делении остаток выходит отличным от нуля, то поставить запятую и продолжить искать частное.
Записать найденный результат с использованием запятой.

Нужно отметить, что алгоритм, объясняющий правило того, как перевести обыкновенную дробь в десятичную, подходит лишь для случаев, когда знаменатель раскладывается на множители пять и два. В иных случая получится периодическое десятичное число.

Использование онлайн-конвертера

Десятичные дроби могут состоять из довольно больших чисел. Поэтому не всегда их можно быстро преобразовать. При этом любая невнимательность может привести к ошибке, что повлечёт неверный как промежуточный, так и итоговый результат. В таких случаях есть резон использовать так называемый конвертер дробей.

Это интернет-сервис, предоставляющий услуги по автоматическому преобразованию дробей из одного вида в другой. Для того чтобы воспользоваться его возможностями, пользователю даже необязательно понимать принцип перевода выражений. От него требуется лишь ввести исходные данные в предлагаемую форму и нажать кнопку «Рассчитать».

Таких математических сервисов в интернете довольно много. Русскоязычные конвертеры не требуют регистрации и указания каких-либо персональных данных. При этом свои услуги они предоставляют бесплатно. Согласно отзывам пользователей, можно выделить следующие онлайн-калькуляторы:

0oq,
onlinemschool,
naobumium,
allcalc,
webmath.

Нужно отметить, что приведенные сайты являются настоящими математическими комбайнами-решателями. Они умеют не только конвертировать дроби, но и выполнять с ними любые действия. Например, складывать, делить, умножать, извлекать корень и возводить в степень. Кроме этого, на их страницах содержится теоретический материал и подробное описание решений.

Способ 1. Превращаем знаменатель в 10, 100 или 1000

Чтобы превратить дробь в десятичную, нужно числитель и знаменатель умножить на одно и то же число так, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д. Но прежде, чем приступать к вычислениям, нужно проверить, можно ли вообще превратить данную дробь в десятичную.

Для примера возьмем дробь 3/20. Ее можно привести в конечную десятичную, потому что её знаменатель раскладывается на множители 2 и 5.

Мы можем получить в нижней части 100: достаточно умножить 20 на 5. Про верхнюю часть тоже не забываем: получаем 15.

Теперь запишем числитель отдельно. Отсчитываем справа столько же знаков, сколько нулей стоит в знаменателе, и ставим запятую. В нашем примере в знаменателе 100 (у него два нуля), значит ставим запятую после отсчета двух знаков и получаем 0,15. Преобразование готово.

Еще пример:

Более быстрый способ

В данном алгоритме также 3 шага. Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:

Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:

Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: $^>=^>=100$, поэтому в знаменателе стоит именно сто. Ну а затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель.:)

Ещё один пример:

Здесь всё чуть сложнее. Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на $^>=^>=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.

Наконец, последний пример:

Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.

Перевод десятичной дроби в смешанное число

Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в смешанное число. Для этого достаточно уметь читать десятичные дроби.

Например, переведём 6,3 в смешанное число. 6,3 это шесть целых и три десятых. Записываем сначала шесть целых:

и рядом три десятых:

Пример 2. Перевести десятичную дробь 3,002 в смешанное число

3,002 это три целых и две тысячных. Записываем сначала три целых

и рядом записываем две тысячных:

Пример 3. Перевести десятичную дробь 4,50 в смешанное число

4,50 это четыре целых и пятьдесят сотых. Записываем четыре целых

и рядом пятьдесят сотых:

Кстати, давайте вспомним последний пример из предыдущей темы. Мы сказали, что десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Также мы сказали, что ноль можно отбросить. Докажем, что десятичные 4,50 и 4,5 равны. Для этого переведем обе десятичные дроби в смешанные числа.

После перевода в смешанное число десятичная дробь 4,50 обращается в , а десятичная дробь 4,5 обращается в

Имеем два смешанных числа и . Переведём эти смешанные числа в неправильные дроби:

Теперь имеем две дроби и . Теперь вспоминаем основное свойство дроби, которое говорит о том, что при умножении (или делении) числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не меняется.

Давайте разделим числитель и знаменатель первой дроби на число 10

Получили , а это есть вторая дробь. Значит и равны между собой и равны одному и тому же значению:

Попробуйте на калькуляторе разделить сначала 450 на 100, а затем 45 на 10. Забавная штука получится.

Как считать разность десятичных дробей столбиком

Вычитание столбиком – быстрый и наглядный способ узнать разность конечных десятичных дробей. Процесс подсчета очень схож с аналогичным для натуральных чисел.

Определение 1

Чтобы подсчитать разность десятичных дробей столбиком, необходимо:

если в указанных десятичных дробях отличается количество знаков после запятой, уравняем его. Для этого допишем к нужной дроби нули;
запишем вычитаемую дробь под уменьшаемой, разместив значения разрядов строго друг под другом, а запятую под запятой;
выполним подсчет столбиком так же, как мы это делаем для натуральных чисел, запятую при этом игнорируем;
в ответе отделим нужное количество чисел запятой так, чтобы она располагалась на том же месте.

Разберем конкретный пример использования этого метода на практике.

Пример 4

Найдите разность 4 452,294-10,30501.

Решение

Для начала выполним первый шаг – уравняем количество десятичных знаков. Допишем два нуля в первую дробь и получим дробь вида 4 452,29400, значение которой идентично исходной.

Запишем получившиеся числа друг под другом в нужном порядке, чтобы получился столбик:

Считаем как обычно, игнорируя запятые:

В получившемся ответе поставим запятую в нужном месте:

Подсчеты окончены.

Наш результат : 4 452,294−10,30501=4 441,98899.

Перевод смешанных чисел в десятичные дроби

Когда мы записываем смешанные числа без знаменателя, мы тем самым перевóдим их в десятичные дроби. При переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби нужно знать несколько моментов, о которых мы сейчас поговорим.

После того как записана целая часть, обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части, поскольку количество нулей дробной части и количество цифр после запятой в десятичной дроби должно быть одинаковым. Что это значит? Рассмотрим следующий пример: перевести смешанное число в десятичную дробь.

Сначала записываем целую часть и ставим запятую:

И можно бы сразу записать числитель дробной части и десятичная дробь готова, но обязательно нужно посчитать сколько нулей содержится в знаменателе дробной части.

Итак, посчитаем количество нулей в дробной части смешанного числа . Видим, что в знаменателе дробной части один ноль. Значит в десятичной дроби после запятой будет одна цифра и это цифра будет числитель дробной части смешанного числа , то есть число 2

3,2

Таким образом, смешанное число при переводе в десятичную дробь обращается в 3,2. Эта десятичная дробь читается так:

«Три целых, две десятых»

«Десятых» потому что в дробной части смешанного числа содержится число 10.

Пример 2. Перевести смешанное число в десятичную дробь.

Записываем цéлую часть и ставим запятую:

И можно бы сразу записать числитель дробной части и получить десятичную дробь 5,3 но правило говорит, что после запятой должно быть столько цифр сколько нулей в знаменателе дробной части смешанного числа . А мы видим, что в знаменателе дробной части два нуля. Значит в нашей десятичной дроби после запятой должно быть две цифры, а не одна.

В таких случаях числитель дробной части нужно немного видоизменить: добавить ноль перед числителем, то есть перед числом 3

Теперь можно довести дело до конца. Записываем после запятой числитель дробной части:

5,03

Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа одинаково.

Десятичная дробь 5,03 читается так:

«Пять целых, три сотых»

«Сотых» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа содержится число 100.

Пример 3. Перевести смешанное число в десятичную дробь.

Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешного перевода смешанного числа в десятичную дробь, количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части должно быть одинаковым.

Перед переводом смешанного числа в десятичную дробь, его дробную часть нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым.

В первую очередь смóтрим на количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там три нуля:

Наша задача организовать в числителе дробной части три цифры. Одна цифра у нас уже есть — это цифра 2. Осталось добавить ещё две цифры. Ими будут два нуля. Добавим их перед цифрой 2. В результате количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе станет одинаковым:

Теперь можно заняться переводом этого смешанного числа в десятичную дробь. Записываем сначала цéлую часть и ставим запятую:

и сразу записываем числитель дробной части

3,002

Десятичная дробь 3,002 читается так:

«Три целых, две тысячных»

«Тысячных» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа содержится число 1000.

Как превратить десятичную дробь в обычную?

Например, 3,45 или 0,299.Например: $ \frac{4}{5} $, $ \frac{25}{70} $, 3$ \frac{2}{7} $

Первый способ – механический

$ \frac{1}{20} $

Запишем в числитель значимые цифры ДД (без нулей слева и запятых), а в знаменатель – единицу: $ \frac{5}{1} $.
Добавим к единице столько нулей, сколько знаков после запятой в исходном числе 0,05, то есть два: $ \frac{5}{100} $.
Сократим получившуюся ОД на 5, получим $ \frac{1}{20} $.

Результат решения: $ \frac{5}{100} $$ \frac{1}{20} $

Запишем в числитель все цифры без запятой: $ \frac{3075}{} $.
В знаменатель – “1” и столько “0”, сколько знаков после запятой в числе 3,075 – три: $ \frac{3075}{1000} $.
Сократим на 25: $ \frac{3075}{1000} $= $ \frac{123}{40} $ (можно постепенно, два раза по 5).
Если далее следуют еще какие-то вычисления, можно оставить ее в таком виде. Если нет, превратим неправильную дробь в правильную, выделив целую часть, 123 : 40 = 3 (и 3 в остатке). Значит — $ \frac{123}{40} $ = 3$ \frac{3}{40} $

Ход преобразований: $ \frac{3075}{1000} $ $ \frac{123}{40} $$ \frac{3}{40} $

Оставляем целое ДД “за кадром” и займемся только дробным компонентом: 3,075 – это 3 + 0,075:
- 3 пока не трогаем;
- 0,075 переводим в ОД: $ \frac{75}{1000} $.
Сокращаем полученную дробь на 25: $ \frac{75}{1000} $ = $ \frac{3}{40} $.
Возвращаем целую часть на свое место, соединяем: 3,075 = 3$ \frac{3}{40} $.

Вся последовательность: $ \frac{75}{1000} $$ \frac{3}{40} $$ \frac{3}{40} $

Второй способ – “на слух”

восемь/девятых – $ \frac{8}{9} $;
одиннадцать/тридцатых – $ \frac{11}{30} $;
сто две/триста семнадцатых – $ \frac{102}{317} $.

например, 0,45:

0, 45 – это (слушаем!) сорок пять/сотых – $ \frac{45}{100} $;
Теперь сократим на 5: $ \frac{45}{100} $ = $ \frac{9}{20} $.

В итоге получаем: $ \frac{45}{100} $$ \frac{9}{20} $14,408 в виде ОД:

14 целых не трогаем. Превращаем: 0,408 = $ \frac{408}{1000} $.
Сокращаем на 8: $ \frac{408}{1000} $ = $ \frac{51}{125} $.
Соединяем целую и дробную части.

Ход решения: $ \frac{408}{1000} $$ \frac{51}{125} $

Еще несколько примеров:

1, 08 – одна целая, восемь сотых – 1$ \frac{8}{100} $ = 1$ \frac{2}{25} $ (дробную составляющую уменьшили в 4 раза);
5,0125 – пять целых, сто двадцать пять/десятитысячных – 5$ \frac{125}{1000} $ = 5$ \frac{1}{80} $ (сократили на 125);
0,648 – шестьсот сорок восемь тысячных – $ \frac{648}{1000} $ = $ \frac{81}{125} $ (разделили все на 8).

Основной алгоритм

На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.

Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:

Переписать исходную дробь в виде новой дроби: в числителе останется исходная десятичная дробь, а в знаменателе нужно поставить единицу. При этом знак исходного числа также помещается в числитель. Например:

Умножаем числитель и знаменатель полученной дроби на 10 до тех пор, пока в числителе не исчезнет запятая. Напомню: при каждом умножении на 10 запятая сдвигается вправо на один знак. Разумеется, поскольку знаменатель тоже умножается, там вместо числа 1 будут появляться 10, 100 и т.д. Примеры: Алгоритм перехода к обычным дробям
Наконец, сокращаем полученную дробь по стандартной схеме: делим числитель и знаменатель на те числа, которым они кратны. Например, в первом примере 0,75=75/100, при этом и 75, и 100 делятся на 25. Поэтому получаем $0,75=frac=frac=frac$ — вот и весь ответ.:)

Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус»

Вот ещё несколько примеров:

Примеры перехода от десятичной записи дробей к обычной

Особое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой

Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?

Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм — он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.

Что такое дробь?

Для начала вспомним, что такое обыкновенная дробь. Это число, которое обозначает часть единицы, чего-то целого. Для того, чтобы использовать подобные числа в расчетах, нам нужно знать, на сколько частей поделили единицу и сколько частей мы взяли для расчета.

Например, вы решаете задачу, где сказано, что папа съел одну четвертую часть пирога. Нужно посчитать, сколько калорий употребил папа. В этом случае, для расчета нам потребуется дробь, которая обозначит часть пирога. Значит, пирог – это целое. На сколько частей поделили пирог?

Дробь записывается в виде двух чисел, разделенных чертой. Верхнее число зовется числителем. Как раз оно и отображает количество съеденных кусков. Тогда как знаменатель, это общее количество кусочков, на которое разделили целое.

Если числитель и знаменатель равны, то никакой дроби не получится. Получится число: 1. Так же, если числитель является кратным для знаменателя, то дробь сразу сокращают до целого числа.

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Можно выполнить и обратное преобразование. Правда, далеко не любую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь.

В задачах первой части ЕГЭ ответ необходимо записать в виде десятичной дроби

Поэтому важно научиться быстро и без ошибок преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные

Самый бесхитростный способ получить из обыкновенной дроби десятичную — поделить в столбик.

Такой способ, тем не менее, не позволит быстро выяснить, можно ли вообще представить дробь в виде конечной десятичной дроби. Например, можно безуспешно делить в столбик 7 7 7 на 2 4 24 2 4 и получать все новые цифры (а может быть, где-то раньше была ошибка и на самом деле вы делили зря, а правильный ответ — 7 2 5 = 2 8 1 0 0 = 0 , 2 8 frac=frac=0,28 2 5 7 = 1 0 0 2 8 = 0 , 2 8 ).

Поэтому мы опишем способ, на первый взгляд более сложный, который сэкономит вам кучу времени на экзамене или контрольной.

Итак, какие дроби можно представить в виде конечной десятичной? Дробь a 1 0 k frac 1 0 k a , где a a a — любое целое число, — можно.

Сформулируем критерий того, что обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную.

Чтобы пользоваться этим свойством, запомните наизусть первые несколько степеней двойки и пятерки: