Медиана в статистике: понятие, свойства и расчет

Содержание:

Среднее против медианы против режима  

Среднее значение, медиана и мода являются основными меры центральной тенденции используется в описательной статистике. Они полностью отличаются друг от друга, и случаи, в которых они используются для обобщения данных, также различны.

Значит

Среднее арифметическое — это сумма значений данных, деленная на количество значений данных, т. Е.

Если данные взяты из выборочного пространства, это называется выборочным средним (), которая является описательной статистикой выборки. Хотя это наиболее часто используемый описательный показатель для выборки, это не надежная статистика. Он очень чувствителен к выбросам и колебаниям.

Например, рассмотрим средний доход жителей конкретного города. Поскольку все значения данных суммируются, а затем делятся, доход чрезвычайно богатого человека значительно влияет на среднее значение. Следовательно, средние значения не всегда являются хорошим представлением данных.

Кроме того, в случае переменного сигнала ток, проходящий через элемент, периодически изменяется от положительного направления к отрицательному и наоборот. Если мы возьмем средний ток, проходящий через элемент за один период, он даст 0, что означает, что ток не прошел через элемент, что, очевидно, неверно. Следовательно, и в этом случае среднее арифметическое не является хорошим показателем.

Среднее арифметическое — хороший показатель, когда данные распределены равномерно. Для нормального распределения среднее значение равно моде и медиане. Он также имеет самые низкие остатки при рассмотрении среднеквадратичной ошибки; следовательно, это лучший способ описания, когда требуется представить набор данных одним числом.

Медиана

Значения средней точки данных после упорядочивания всех значений данных в порядке возрастания определяются как медиана набора данных. Медиана — это 2-й квартиль, 5-й дециль и 50-й процентиль.

• Если количество наблюдений (точек данных) нечетное, то медиана — это наблюдение точно в середине упорядоченного списка.

• Если количество наблюдений (точек данных) четное, то медиана — это среднее значение двух средних наблюдений в упорядоченном списке.

Медиана делит наблюдение на две группы; т.е. группа (50%) значений выше и группа (50%) значений ниже медианы. Медианы специально используются в асимметричных распределениях и представляют данные намного лучше, чем среднее арифметическое.

Режим

Мода — это наиболее часто встречающееся число в наборе наблюдений. Режим набора данных рассчитывается путем нахождения частоты каждого элемента в наборе.

• Если значение не встречается более одного раза, значит, в наборе данных нет режима.

• В противном случае любое значение, которое встречается с наибольшей частотой, является режимом набора данных.

В наборе может быть более 1 режима; следовательно, режим не является уникальной статистикой набора данных. В равномерном распределении есть одна мода. Режим дискретного распределения вероятностей — это точка, в которой функция массы вероятности достигает своей наивысшей точки. Используя приведенные выше интерпретации, можно сказать, что глобальные максимумы это режимы.

Рассмотрим применение всех трех мер к следующему набору данных.

ДАННЫЕ: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 14, 14, 15, 15 , 15}

Среднее значение = (1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 5+ 5+ 5+ 6+ 6+ 8+ 8+ 9+ 9+ 9+ 9+ 10+ 10+ 10+ 14+ 14+ 15+ 15+ 15 ) / 25 = 8,12

Медиана = 9 (13-й элемент)

Mode = 9 (частота 9 = 5)

В чем разница между средним, медианным и модой?

• Среднее арифметическое — это сумма значений (наблюдений), деленная на количество наблюдений. Это не надежная статистика, и она сильно зависит от природы нормального распределения в рассматриваемом распределении. Один выброс может вызвать значительный сдвиг среднего значения, что приведет к относительно неверным значениям. Концепция может быть расширена до среднего геометрического, среднего гармонического, средневзвешенного и так далее.

• Медиана — это средние значения набора наблюдений, и на нее относительно меньше влияют выбросы. Это может дать хорошую оценку в качестве сводной статистики в случаях с большим перекосом.

• Режим — это наиболее распространенные значения наблюдений в наборе данных. Если распределение положительно смещено, мода лежит слева от медианы, а при отрицательном смещении мода лежит справа от медианы.

• При положительном перекосе среднее значение соответствует медиане; в случае отрицательного перекоса среднее значение находится слева от медианы.

• В нормальном распределении все три: среднее, мода и медиана равны.

Способы вычисления среднего арифметического

Стандартная формула. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и поделить эту сумму на их количество. Формула выглядит так:

где

  • x — среднее арифметическое;
  • xⁿ — конкретное значение;
  • n — количество значений.

Преимущества:

  • подходит при нормальном распределении значений в выборке;
  • легко считать;
  • интуитивно доступно.

Недостатки:

  • сложно представить распределение значений;
  • можно запутаться в разных величинах.

Вычисление моды или наиболее часто встречающегося значения. Формула такая:

где

  • M₀ — мода;
  • x₀ — нижняя граница интервала, который содержит моду;
  • n — величина интервала;
  • fm — частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);
  • fm-1 — частота интервала предшествующего модальному;
  • fm+1 — частота интервала следующего за модальным.

Преимущества:

  • подходит для формирования общественного мнения;
  • подходит для нечисловых данных;
  • доступно для понимания.

Недостатки:

  • моды может не быть при отсутствии повторов;
  • мод может быть несколько (многомодальное распределение).

Вычисление медианы, то есть значения, которое делит упорядоченную выборку на две половины и находится между ними. Если такого значения нет, за медиану принимают среднее число между границами половин выборки. Формула выглядит так:

где

  • Mₑ — медиана;
  • x₀ — нижняя граница интервала, который содержит медиану;
  • h — величина интервала;
  • f i — частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);
  • Sm-1 — сумма частот интервалов предшествующих медианному;
  • fm — число значений в медианном интервале (его частота).

Преимущества:

  • дает самую реалистичную оценку;
  • устойчива к выбросам.

Недостатки:

сложнее вычислить из-за необходимости упорядочивать.

Применить эти знания можно в любой сфере жизни, где нужно обобщить и дать среднюю оценку: в магазине, на работе, в диалоге с другом или во время презентации перед инвесторами. Еще пригодятся, чтобы рассчитать среднюю скорость движения.

Средняя скорость движения — это весь пройденный путь, поделенный на время движения. Формула:

Так мы рассмотрели самые основные методы нахождения среднего значения. Теперь осталось попрактиковаться на примерах, чтобы быстро решать задачки на контрольной.

Задача №2. Нахождение моды и медианы для дискретного ряда.

тарифный разряд, Xi

Число рабочих

f

Частость, w

Накопленная частота,

S

2

1

0,05

1

3

5

0,25

6

4

8

0,4

14

5

4

0,2

18

6

2

0,1

20

Итого:

2

1,0

20

Распределение рабочих 5 участков по их квалификации (тарифному разряду)

Найти моду по приведенным данным.

Решение:

По максимальной частоте найдем соответствующую группу и варианту: fmax=8 → Мода=4 разряд. Наиболее часто встречающийся разряд рабочих 4.

Определить медиану по данным таблицы.

Как рассчитать медиану? Прежде всего найдем медианный интервал по накопленной частоте. Нужная накопленную частоту. Накопленная частота определяется путем суммирования частот f до тех пор, пока очередная накопленная частота впервые не превысит половину совокупности n+1/2 или n/2.

Для четного ряда 20/2= 10→S= 14 → Ме =4 разряд. Половина всех рабочих имеет тарифный разряд меньше 4, другая половина больше 4.

Формула медианы

Формула медианы в статистике для дискретных данных чем-то напоминает формулу моды. А именно тем, что формулы как таковой нет. Медианное значение выбирают из имеющихся данных и только, если это невозможно, проводят несложный расчет.

Первым делом данные ранжируют (сортируют по убыванию). Далее есть два варианта. Если количество значений нечетно, то медиана будет соответствовать центральному значению ряда, номер которого можно определить по формуле:

где

Me – номер значения, соответствующего медиане,

N – количество значений в совокупности данных.

Тогда медиана обозначается, как

Это первый вариант, когда в данных есть одно центральное значение. Второй вариант наступает тогда, когда количество данных четно, то есть вместо одного есть два центральных значения. Выход прост: берется средняя арифметическая из двух центральных значений:

В интервальных данных выбрать конкретное значение не представляется возможным. Медиану рассчитывают по определенному правилу. 

Для начала (после ранжирования данных) находят медианный интервал. Это такой интервал, через который проходит искомое медианное значение. Определяется с помощью накопленной доли ранжированных интервалов. Где накопленная доля впервые перевалила через 50% всех значений, там и медианный интервал.

Не знаю, кто придумал формулу медианы, но исходили явно из того предположения, что распределение данных внутри медианного интервала равномерное (т.е. 30% ширины интервала – это 30% значений, 80% ширины – 80% значений и т.д.). Отсюда, зная количество значений от начала медианного интервала до 50% всех значений совокупности (разница между половиной количества всех значений и накопленной частотой предмедианного интервала), можно найти, какую долю они занимают во всем медианном интервале. Вот эта доля аккурат переносится на ширину медианного интервала, указывая на конкретное значение, именуемое впоследствии медианой.

Обратимся к наглядной схеме.

Немного громоздко получилось, но теперь, надеюсь, все наглядно и понятно. Чтобы при расчете каждый раз не рисовать такой график, можно воспользоваться готовой формулой. Формула медианы имеет следующий вид:

где xMe — нижняя граница медианного интервала;

iMe — ширина медианного интервала;

∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);

S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;

fMe — число наблюдений в медианном интервале.

Как нетрудно заметить, формула медианы состоит из двух слагаемых: 1 – значение начала медианного интервала и 2 – та самая часть, которая пропорциональна недостающей накопленной доли до 50%. 

Для примера рассчитаем медиану по следующим данным.

Требуется найти медианную цену, то есть ту цену, дешевле и дороже которой по половине количества товаров. Для начала произведем вспомогательные расчеты накопленной частоты, накопленной доли, общего количества товаров.

По последней колонке «Накопленная доля» определяем медианный интервал – 300-400 руб (накопленная доля впервые более 50%). Ширина интервала – 100 руб. Теперь остается подставить данные в приведенную выше формулу и рассчитать медиану.

То есть у одной половины товаров цена ниже, чем 350 руб., у другой половины – выше. Все просто. Средняя арифметическая, рассчитанная по этим же данным, равна 355 руб. Отличие не значительное, но оно есть.

Задача про медиану в прямоугольном треугольнике

Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно,  3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике

В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y). 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC — общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора   

AC2 + CD2 = AD2

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4×2 + y2 = 9 

Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По теореме Пифагора:
EC2 + BC2  = BE2

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x2 + 4y2  = 16

Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой.
Решим полученную систему уравнений. 
4×2 + y2 = 9
x2 + 4y2  = 16 

Сложим оба уравнения (впрочем, можно было выбрать и любой другой способ решения).
5×2 + 5y2 = 25  
5( x2 + y2 ) = 25
x2 + y2 = 5 

Обратимся к исходному треугольнику ABC. По теореме Пифагора  
AC2 + BC2  = AB2
Так как длина каждого из катетов нам «известна», мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть
4×2 + 4y2 = AB2 Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки      
4 ( x2 + y2 ) = AB2  
Чему равно  x2 + y2 мы уже знаем (см. выше x2 + y2 = 5), поэтому просто подставим значения вместо  x2 + y2 

AB2 = 4 х 5
AB2 = 20
AB = √20 = 2√5  

Ответ: длина гипотенузы равна 2√5     

Угол между высотой и медианой треугольникаОписание курса Медіана прямокутного трикутника   

Теорема о медиане и площади треугольника

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника. \( S=\frac{1}{2}a~\cdot h\).

И применим эту формулу аж два раза!

Посмотри, медиана \( \displaystyle BM\) разделила \( \displaystyle \triangle ABC\) на два треугольника: \( \displaystyle \triangle ABM\) и \( \displaystyle \triangle BMC\).

Но! Высота-то у них одна и та же – \( \displaystyle BH\)!

Только в \( \displaystyle \triangle ABM\) эта высота \( \displaystyle BH\) опускается на сторону \( \displaystyle AM\), а в \( \displaystyle \triangle BMC\) – на продолжение стороны \( \displaystyle CM\).

Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу

\( S=\frac{1}{2}a~\cdot h\).

1) B \( \displaystyle \triangle ABM\):

“\( \displaystyle a\)” – это \( \displaystyle AM\)“\( \displaystyle h\)” – это \( \displaystyle BH\) \( \displaystyle \Rightarrow {{S}_{\triangle ABM}}=\frac{1}{2}~AM~\cdot BH\)

2) B \( \displaystyle \triangle BMC\):

“\( \displaystyle a\)” – это \( \displaystyle CM\)“\( \displaystyle h\)” – это опять \( \displaystyle BH\) \( \displaystyle \Rightarrow {{S}_{\triangle BMC}}=\frac{1}{2}~CM~\cdot BH\)

Биссектриса

Биссектрисами
(от лат. bis
– дважды» и seko
– рассекаю) называют заключенные внутри
треугольника отрезки прямых, которые
делят пополам его углы (см. рис. 4).

Для построения
биссектрисы необходимо выполнить
следующие действия:

1) построить луч,
выходящий из вершины угла и делящий его
на две равные части (биссектрису угла);

2) найти точку
пересечения биссектрисы угла треугольника
с противоположной стороной;

3) выделить отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
точкой пересечения на противоположной
стороне.

Свойства
биссектрис треугольника

Биссектриса угла
треугольника делит противоположную
сторону в отношении, равном отношению
двух прилежащих сторон.

Биссектрисы
внутренних углов треугольника
пересекаются в одной точке. Это точка
называется центром вписанной окружности.

Биссектрисы
внутреннего и внешнего углов
перпендикулярны.

Если биссектриса
внешнего угла треугольника пересекает
продолжение противолежащей стороны,
то ADBD=ACBC.

Биссектрисы одного
внутреннего и двух внешних углов
треугольника пересекаются в одной
точке. Эта точка — центр одной из трех
вневписанных окружностей этого
треугольника.

Основания биссектрис
двух внутренних и одного внешнего углов
треугольника лежат на одной прямой,
если биссектриса внешнего угла не
параллельна противоположной стороне
треугольника.

Если биссектрисы
внешних углов треугольника не параллельны
противоположным сторонам, то их основания
лежат на одной прямой.

Содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы
.

Можно также ввести понятие внешней медианы
треугольника.

Энциклопедичный YouTube

1
/
3

✪ МЕДИАНЫ биссектрисы и ВЫСОТЫ треугольника — 7 класс

✪ Медиана треугольника. Построение. Свойства.

✪ биссектриса, медиана, высота треугольника. Геометрия 7 класс

Относительные показатели вариации

Rσ

Таблица — Числовые характеристики вариационного ряда

Характеристики положения Среднее арифметическое (выборочное среднее)
Мода Mo = xj, если mj = mmax
Медиана Me = xk+1, если n = 2k+1;
Me = (xk + xk+1)/2, если n = 2k
Характеристики рассеяния Выборочная дисперсия
Выборочное среднее квадратичное отклонение
Исправленная дисперсия
Исправленное среднее квадратичное отклонение
Коэффициент вариации
Среднее абсолютное отклонение
Вариационный размах R = xmax — xmin
Квартильный размах RQ = Qв – Qн
Характеристики формы Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса

размахвыборочная дисперсиясреднее квадратичное отклонениеn30исправленную дисперсиюисправленное среднее квадратичное отклонениекоэффициент вариацииVсреднее абсолютное отклонениеквартильный размах. коэффициент асимметрииxBxBЭксцесс

Пример №1. 1. При выборочном изучении численности жителей в поселках городского типа получены следующие данные:

Группы поселков с числом жителей, тыс. чел До 3 3-5 5-10 10-15 15 и более Итого
Число поселков 26 25 35 11 13 100

Решение. В разделе «Вид статистического ряда» выбираем Интервальный ряд (рис. 1).
Рисунок 1 – Вид статистического ряда

2. Поскольку в задании пять исходных строк (столбцов), то в поле Количество строк указываем 5. Нажимаем кнопку Далее.

Расчет показателей вариации

maxminПоказатели формы распределенияИнтервальное оценивание центра генеральной совокупностиkpkpkpkpkpkpДоверительный интервал для дисперсии.2Интервальное оценивание генеральной доли (вероятности события)kpkpkpkpkpkp

Доля i-ой группы fi / ∑f Средняя ошибка выборки для генеральной доли, ε Нижняя граница доли, p* + ε Верхняя граница доли, p* + ε
0.02 0.0002 0.0398
0.1 0.0576 0.14
0.12 0.074 0.17
0.24 0.18 0.3
0.22 0.16 0.28
0.2 0.14 0.26
0.1 0.0576 0.14

Проверка гипотез о виде распределениянормальному законуii

Интервалы группировки Наблюдаемая частота ni Ф(xi) Ф(xi+1) Вероятность pi попадания в i-й интервал Ожидаемая частота npi Слагаемые статистики Пирсона Ki
32.11 — 37.01 1 0.48 0.5 0.0198 0.99 0.0001
37.01 — 41.91 5 0.41 0.48 0.0679 3.4 0.76
41.91 — 46.81 6 0.25 0.41 0.16 7.83 0.43
46.81 — 51.71 12 0.012 0.25 0.24 11.99
51.71 — 56.61 11 0.24 0.012 0.22 11.19 0.003
56.61 — 61.51 10 0.4 0.24 0.16 8.2 0.4
61.51 — 66.41 5 0.47 0.4 0.0735 3.68 0.48
50 2.06

наблkpkp2cpнормальное распределение

Пример №3. Для изучения явления проведена 5%-ная механическая выборка. Определить;

  1. по выборке:
    • среднее значение;
    • моду и медиану;
    • показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;
  2. с вероятностью 0.954 пределы, в которых можно ожидать среднюю и долю более 1,5 лет;
  3. необходимую численность выборки при определении средней, чтобы с вероятностью 0.997 предельная ошибка выборки не превысила 3.

Пример расчета медианы в интервальном вариационном ряду

В качестве исходных данных для расчета и анализа медианы используем статистическую группировку банков по величине собственных средств. Таким образом, расчет искомого показателя осуществим на основе следующего интервального ряда распределения:

№ группы
Группы банков по величине собственных средств (капитала) на 01.01.2015, тыс.руб.
Количество банков, ед.

1
224624-305885
2

2
305885-387146
11

3
387146-468407
5

4
468407-549668
5

5
549668-630929
3

6
630929-712190
4

Итого
30

Для вычисления накопленной частоты построим промежуточную расчетную таблицу:

№ группы
Группы банков по величине собственных средств (капитала) на 01.01.2015, тыс.руб.
Количество банков, ед.
Накопленная частота, S

1
224624-305885
2
2

2
305885-387146
11
13

3
387146-468407
5
18

4
468407-549668
5
23

5
549668-630929
3
26

6
630929-712190
4
30

Итого
30

Как показывают проведенные вычисления, середина ряда составляет 15. Следовательно, медианным является интервал с накопленной частой 18. Это интервал со значениями величины собственных средств (капитала) банков на 01.01.2015 в диапазоне 387146-468407 тыс.руб. Соответственно, величина указанного в формуле интервала i равняется 81261 тыс.руб. Нижняя граница требуемого интервала хО составляет 387146 тыс.руб. Накопленная частота интервала, предшествующего медианному, равняется 13.

Соответственно, значение медианы согласно исходным данным составит:

Me = 387146+81261*((30/2-13)/18) = 396175 тыс.руб.

Полученное значение медианы показывает, что в исследуемой совокупности 50% банков имеют величину собственных средств (капитала) более 396175 тыс.руб., а 50% — менее 396175 тыс.руб.

Использование функции MEDIAN в Microsoft Excel

В Excel есть несколько функций, которые рассчитывают часто используемые средние значения. Функция MEDIAN находит медиану или среднее значение в списке чисел.

Примечание . Эти инструкции относятся к Excel 2019, 2016, 2013, 2010, Excel 2019 для Mac, Excel 2016 для Mac, Excel для Mac 2011, Excel для Office 365 и Excel Online.

Как работает функция MEDIAN

Функция MEDIAN сортирует предоставленные аргументы, чтобы найти значение, которое арифметически падает в середине группы.

Если существует нечетное количество аргументов, функция идентифицирует среднее значение в диапазоне как среднее значение.

Если имеется четное число аргументов, функция принимает среднее арифметическое или среднее из двух средних значений.

аргументы

Значения, предоставляемые в качестве аргументов, не обязательно должны быть в каком-то определенном порядке для работы функции. Вы можете увидеть это в игре в четвертом ряду на примере изображения ниже.

MEDIAN Синтаксис функции

Синтаксис функции относится к макету функции и включает имя функции, скобки, разделители запятых и аргументы.

Ниже приведен синтаксис для функции MEDIAN:

  = MEDIAN (  Number1  ,   Number2  ,   Number3  ,  ... )  
  • = MEDIAN . Все формулы MEDIAN начинаются таким образом.
  • Number1 Обязательные данные, которые должны быть рассчитаны функцией.
  • Number2 Необязательные дополнительные значения данных для расчета в среднем. Максимально допустимое количество записей – 255, каждая из которых должна быть разделена запятой.

Этот аргумент может содержать:

  • Список чисел для усреднения
  • Ячейки ссылаются на расположение данных на листе
  • Диапазон ссылок на ячейки
  • Именованный диапазон

Варианты ввода функции и ее аргументов:

  • Ввод полной функции, например = MEDIAN (A2: F2) , в ячейку листа
  • Ввод функции и аргументов с использованием диалогового окна функции

Пример функции MEDIAN

Эти шаги подробно описывают, как ввести функцию MEDIAN и аргументы, используя диалоговое окно для первого примера, показанного на изображении выше.

  1. Нажмите на ячейку G2 , где будут отображаться результаты.
  2. Нажмите кнопку Вставить функцию , чтобы открыть диалоговое окно «Вставить функцию».
  3. Выберите Статистический в списке категорий.
  4. Выберите MEDIAN в списке функций и нажмите ОК .
  5. Выделите ячейки от A2 до F2 на листе, чтобы автоматически вставить этот диапазон.
  6. Нажмите Enter , чтобы завершить функцию и вернуться к рабочему листу.

Ответ 20 должен появиться в ячейке G2

Если щелкнуть ячейку G2, полная функция = MEDIAN (A2: F2) появится в строке формул над рабочим листом.

Почему медиана 20? Для первого примера в изображении, поскольку существует нечетное количество аргументов (пять), среднее значение вычисляется путем нахождения среднего числа. Здесь 20, потому что есть два числа больше (49 и 65) и два числа меньше (4 и 12).

Пустые ячейки против нулевых значений

При нахождении медианы в Excel, есть разница между пустыми или пустыми ячейками и теми, которые содержат нулевое значение.

Как показано в приведенных выше примерах, функция MEDIAN игнорирует пустые ячейки, но не ячейки, содержащие нулевое значение.

  • Медиана изменяется между первым и вторым примерами, потому что в ячейку A3 был добавлен ноль, а ячейка A2 пуста.
  • Добавление ноля к ячейке A3 изменяет число аргументов, передаваемых функции в ячейке G3, с пяти до шести – четное число. В результате медиана рассчитывается путем сложения двух средних значений (12 и 20) вместе, а затем деления на два, чтобы найти их среднее значение (16).

По умолчанию Excel отображает ноль (0) в ячейках с нулевым значением, как показано в примере выше. Эту опцию можно отключить, и, если это будет сделано, такие ячейки останутся пустыми, но нулевое значение для этой ячейки все еще будет включено в качестве аргумента функции при вычислении медианы.

Примечание . Этот параметр нельзя отключить в Excel Online.

Как включить или отключить этот параметр в Excel 2019, Excel 2016, Excel 2013 и Excel 2010 :

  1. Перейдите на вкладку Файл и нажмите Параметры .
  2. Перейдите в категорию Дополнительно на левой панели параметров.
  3. На правой стороне прокручивайте вниз, пока не найдете раздел Параметры отображения для этого рабочего листа .
  4. Чтобы скрыть нулевые значения в ячейках, снимите флажок Показать ноль в ячейках с нулевым значением . Чтобы отобразить нули, поставьте галочку в поле.
  5. Сохраните любые изменения с помощью кнопки ОК .

Как включить или отключить этот параметр в Excel 2019 для Mac, Excel 2016 для Mac и Excel для Mac 2011 :

  1. Перейдите в меню Excel .
  2. Нажмите Настройки .
  3. Нажмите Вид в разделе «Авторизация».
  4. Снимите флажок Показать нулевые значения в разделе Параметры окна .

МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА

Слово «медиана» переводится как «равноделящая сторону». Чтобы построить медиану, надо середину стороны треугольника соединить отрезком с противолежащей вершиной треугольника. Полученный отрезок и есть медиана треугольника.

Медиана треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

На рисунке красным цветом обозначена медиана CK. При этом она делит сторону AB треугольника пополам, AK = KB.

Свойства медианы треугольника

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, расположенной в плоскости треугольника и являющейся его центром тяжести

Для определения этой точки достаточно построить две медианы треугольника, и точка их пересечения будет принадлежать третьей медиане этого треугольника.

  • Точкой пересечения медиан треугольника каждая медиана делится в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Т.е. длина отрезка медианы от вершины треугольника до точки пересечения медиан составляет 2/3 всей ее длины, а от точки пересечения медиан до стороны треугольника — 1/3 ее длины.

  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.

  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.

  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.

  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.

  • У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают.

  • У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.

Формулы медианы произвольного треугольника

  • Длина медианы, проведенной к стороне произвольного треугольника равна половине квадратного корня из удвоенной суммы квадратов двух других сторон из которой вычтен квадрат стороны, к которой проведена медиана (Формула 1)
  • Сумма квадратов медиан треугольника равна 3/4 суммы квадратов его сторон (Формула 2)
  • Длина стороны треугольника равна 2/3 квадратного корня из удвоенной суммы квадратов медиан, проведенных к двум другим его сторонам за вычетом квадрата медианы, проведенной к искомой стороне (Формула 3)
  • Площадь треугольника можно найти через длины его медиан, используя значение полусуммы длин медиан (Формулы 4 и 5)

Содержание главы:

Как найти длину медианы треугольника

Нахождение площади через медианы

Угол между высотой и медианой треугольника

Медиана прямоугольного треугольника

Медіана прямокутного трикутника

Площадь треугольникаОписание курса Как найти длину медианы треугольника   

Медиана

Медиана – число, характеризующее выборку, т.е. если взять все элементы множества, то это число ровно делит множество пополам. Одна половина множества равна или больше этого число, а другая меньше или равна этому числу.

Объясним это на примере. Допустим, дано следующее множество: $\{2, 5, 10, 8, 7\}$. Здесь число $7$ делит это множество пополам. $2$ и $5$ меньше, а $10$ и $8$ больше этого числа. Для удобства нахождения медианы сначала нужно отсортировать выборку в возрастающем или убывающем порядке $\{2, 5, 7, 8, 10\}$. Тогда элемент, стоящий ровно посередине, будет медианой. Как видите, это число $7$.

А как быть, если во множестве четное количество чисел? Например $\{2, 5, 6, 8, 10, 15\}$. Тогда берем среднеарифметическое значение двух чисел, которые стоят посередине. У нас эти числа $6$ и $8$. Значит $(6+8):2=14:2=7$. Среднее значение этих двух чисел, а значит медиана равна $7$.

Пример из практики

Допустим, в стране $1\%$ взрослого населения зарабатывает $1$ млн. у.е. в год (может быть больше, но для примера ограничимся этим числом), $10\%$ населения зарабатывает по $20,000$ у.е. в год. Остальные живут за чертой бедности, зарабатывая всего $100$ у.е. в год. Тогда, несмотря на большие заработки $11\%$ населения, медиана все равно будет равна $100$ у.е. Потому что подавляющее большинство получает всего $100$ у.е. в год. Теперь вычислим среднее значение.

Значит, среднее значение в год составляет

Зная соотношение неработающих людей, на каждого работающего, и поделив полученное на это число, получим доход на душу населения (с учетом детей, стариков и больных без пенсии).

Итак, такая статистика показывает, что народ живет припеваючи, зарабатывая примерно 1,000 у.е. в месяц, а действительность другая. Как раз, так и вычисляется доход на душу населения. Берется национальный доход и делится на численность населения. Теперь вы понимаете, почему в сводках всегда называют эту цифру, потому что она никоим образом не отображает благосостояние большинства, а только является показателем экономического благосостояния страны.

Основные соотношения

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

ma=2b2+2c2−a24,{\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},}
mb=2a2+2c2−b24,{\displaystyle m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},}
mc=2a2+2b2−c24,{\displaystyle m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},}
где ma, mb, mc{\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c}} — медианы к сторонам треугольника a, b, c{\displaystyle a,\ b,\ c} соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

ma2+mb2+mc2=34(a2+b2+c2){\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

a=23−ma2+2mb2+2mc2=2(b2+c2)−4ma2=b22−c2+2mb2=c22−b2+2mc2,{\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},}
b=23−mb2+2ma2+2mc2=2(a2+c2)−4mb2=a22−c2+2ma2=c22−a2+2mc2,{\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},}
c=23−mc2+2mb2+2ma2=2(b2+a2)−4mc2=b22−a2+2mb2=a22−b2+2ma2,{\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}},}
где ma,mb,mc{\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}} — медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c{\displaystyle a,b,c} — стороны треугольника.

Площадь S{\displaystyle S} любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

S=43σ(σ−ma)(σ−mb)(σ−mc),{\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}},}
где σ=(ma+mb+mc)2{\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2} — полусумма длин медиан.

Принципы определения показателей вариации

Пример №4

Средние величины и показатели вариации имеют в статистике важное значение. Они широко применяются для характеристики статистических совокупностей по варьирующим признакам.
В задачах контрольных работ могут приводиться так называемые открытые интервалы, то есть, интервалы, у которых верхняя или нижняя границы точно не определены, а сама граница остается как бы открытой

В этом случае за величину открытого интервала условно принимается величина смежного закрытого интервала. Например, дан вариационный ряд распределения работников магазина:

Группы работающих по величине заработка (руб. в месяц) Число работающих (чел.)
до 8000 6
от 8000 до 9000 10
от 9000 до 10000 14
и т.д.

определении среднего квадратического отклоненияix